L'ultimo libro di Paolo Zellini sulle origini del pensiero matematicoQuell'ombra generò il
numero
Tutto iniziò con lo "gnomon", antico
strumento per misurare il tempo |
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| Paolo Zellini, "Gnomon. Una indagine sul numero", Adelphi, Milano 1999, pagg. 490, L. 60.000 |
"Secondo la natura dello gnomone". È questa la chiave di lettura, nascosta in un frammento di Filolao, che Zellini propone per capire come sono stati concepiti i numeri fin dall'antichità. "Ora però (questo
numero), mettendo in armonia nell'anima tutte le cose con la
sensazione, le rende conoscibili e le avvicina in un reciproco accordo secondo la natura dello gnomone, col dar corpo e col distinguere i rapporti delle cose, sia nell'infinito che nel finito". Cosa intendeva dire Filolao?
Gnomon, gnomone, in greco aveva diversi significati. Come racconta Erodoto, si misurava il tempo mediante l'ombra proiettata da uno stilo, lo gnomone appunto, piantato perpendicolarmente a un piano orizzontale.
O più semplicemente, un bastone piantato perpendicolarmente al terreno. Lo stilo, il bastone con la sua ombra formano una figura a
squadra, analoga alla "cornice" con cui nella scuola pitagorica si aumentavano i numeri quadrati ottenendo ancora dei quadrati. Pitagora aveva insegnato a rappresentare i numeri mediante un insieme di punti,
una collezione di unità disposte secondo un ordine geometrico. Un
numero quadrato, 4 ad esempio, era rappresentato da quattro punti posti
ai vertici di un quadrato. Se si contorna il quadrato con una cornice di
cinque punti a forma di squadra, uno gnomone appunto, si ottiene
ancora un numero quadrato, 9. A partire dal punto-unità, l'aggiunzione
successiva di punti disposti "secondo la natura dello gnomone" genera
una successione di quadrati.
Col termine "gnomone" si indicava dunque ogni grandezza geometrica,
come la cornice a squadra per i quadrati, che potesse aggiungersi o
togliersi a determinate figure mantenendone inalterata la forma. "Questa
tecnica di accrescimento (o di diminuzione) di forme spaziali come
mezzo di generazione dei numeri finì per rappresentare non solo un
momento iniziale, ma la chiave stessa di tutto un modo di concepire il
numero e la misura in Occidente", afferma Zellini.
La chiave è rivelata da quel frammento di Filolao e, questa è la tesi
discussa nel libro, "si potrebbe dire che un'intera sequenza di
successive scoperte matematiche, nell'arco di almeno due millenni, ne è
l'esegesi e il compimento". La scoperta dell'invarianza nel mutamento,
l'adesione dell'anima all'esperienza del simile, sono elementi essenziali
della filosofia pitagorica, costituiscono il fondamento di un universale
principio di armonia. Secondo Pitagora, "l'anima è armonia,
composizione e fusione di elementi contrapposti" e al numero, pensato
"secondo la natura dello gnomone", compete lo stesso carattere di
permanenza della physis. La permanenza che si afferma in opposizione
al "diverso", osserva Zellini, per cui il numero e la physis finiscono
entrambi per essere caratterizzati da un mutamento "conforme al logos,
ovvero a un sistema di rapporti". Il logos, la ratio, diventano il vero
soggetto del calcolo.
L'indagine sulle procedure elementari di calcolo della matematica antica
rivela nelle mani di Zellini inaspettate profondità. Con una raffinata analisi
dei testi e delle tecniche di calcolo, Zellini spiega come non solo
l'algebra geometrica di Euclide, ma anche l'algebra degli Arabi, di
Cardano e di Bombelli, l'analisi di Viete, la computatio algebrica di
Newton e le tecniche numeriche elaborate da Fourier e Lagrange a
cavallo dell'Ottocento, "sarebbero state debitrici - in un senso più
stretto e immediato di quello che si può supporre di qualsiasi processo
cumulativo della conoscenza - dello schema costruttivo gnomonico"
cui allude il frammento di Filolao.
Dalla fine del Seicento in poi, i metodi di approssimazione numerica si
sono affiancati alle "formule esatte" dell'analisi. Agli occhi di Zellini, una
prima rivoluzione si verifica proprio alla fine del Seicento, con la
creazione della nuova analisi infinitesimale di Newton e Leibniz,
"un'estensione del concetto greco di logos dalle quantità finite a quelle
infinitesime". Una seconda rivoluzione si ha poi tra la fine dell'Ottocento
e l'inizio del nostro secolo, quando si afferma l'idea che l'analisi si può
ricondurre al numero e all'aritmetica ordinaria attraverso il concetto di
insieme e operazioni di passaggio al limite. Infine, il nuovo sistema di
idee e esperienze computazionali che ha accompagnato la terza
rivoluzione, promossa dal calcolatore, ha dato nuovo significato al
progetto di aritmetizzazione della matematica intrapreso alla fine
dell'Ottocento.
Per John von Neumann, per Goldstine e i matematici del secondo dopoguerra che si impegnano in questo programma, si tratta di
"constatare fino a che punto è effettivamente possibile ricondurre il
continuo al discreto numerico mediante schemi di approssimazione e
mediante algoritmi efficienti". Qui l'accento va posto sul termine
"efficienti". Qui entrano in gioco problemi di stabilità e di complessità
computazionale, in cui convergono tradizioni diverse, logico-fondazionali
e applicative. Si scoprono le limitazioni insite nella risoluzione
algoritmica dei problemi. La ricerca di algoritmi efficienti si interseca con
le moderne teorie della calcolabilità elaborate da Turing in poi e ne
eredita tecniche e finalità. Gli algoritmi degli antichi ci aiutano a
comprendere le strategie più avanzate della matematica
computazionale.
Alcune delle odierne tecniche di calcolo numerico utilizzano uno schema
gnomonico, uno schema che in ultima analisi deriva da procedimenti
messi in atto dalla matematica antica. Gnomon dunque non è solo una
figura geometrica, afferma Zellini. È "una costruzione mentale" che si
applica a problemi diversi secondo regole aritmetiche e algebriche che
tuttavia "sono rigorosamente modellate su quella figura". Il continuo
riapparire sotto forme diverse di uno stesso concetto, di uno stesso
"modulo di ragionamento", consente dunque di riscoprire "il senso riposto dei dettagli più tecnici ed esoterici del lnguaggio algebrico e analitico". Ciò che unisce l'uso arcaico dello gnomone alle formule
"incrementali" dell'analisi, le più antiche formule ricorsive ai moderni criteri di controllo dell'errore nei calcoli numerici non è solo una semplice successione di tecniche, ma anche "un'idea inesprimibile e inesauribile
che serviva a comprendere la natura", per la quale non esiste oggi,
afferma Zellini, una parola adeguata. "Come se la crescita smisurata e
la sorpendente potenza esplicativa dei primi concetti che avevano
permesso di pensare la physis avessero anche, paradossalmente, fatto
svanire il logos che ne teneva unita la compagine".
Nell'antichità i concetti matematici erano pensati come un logos divino,
dotato del potere "straordinario e abbagliante" di collegare le cose e "rendere uguale il diverso". Gli umani "se ne impossessarono solo al
prezzo di una trasgressione", la trasgressione di cui parla il mito di Prometeo, colui che seppe indicare "i cammini difficili da distinguere
delle costellazioni" rivelando la difficoltà insita nell'atto di discriminare, di
cogliere il valore esatto delle misure. La difficoltà di dominare il continuo
col discreto, che si è tradotta "in un progetto gigantesco, commisurato
alla sua origine divina" che attraversa la storia della matematica e,
infine, ha portato alla "creazione di un congegno automatico, un automa
intelligente, a cui delegare un compito altrimenti inattuabile". Un enorme
e geniale artificio, "la computatio algebrica e il calcolo su grande scala",
che a Wiener evocava la leggenda di Golem, ha alla fine preso il posto
del logos. "Verosimilmente - conclude Zellini - sia l'analisi che il
calcolo numerico automatico debbono la loro origine ultima e il loro
potere di esplicazione della ratio a un numero limitato di semplici
costruzioni geometriche; e soprattutto a una di queste, lo gnomone
quadratico, il numero deve quella funzione imitativa o partecipativa degli
avvenimenti della physis che i pitagorici erano stati i primi a riconoscere,
e che la matematica del Novecento ha cercato di inseguire in ogni
dettaglio". | 
