| L'arte di dimostrare che la forma è sostanza |
La logica è una disciplina inaugurata da Aristotele e, a partire dalla
seconda metà dell'Ottocento e in particolare a partire dall'opera di Boole,
tratta le sue questioni con metodi matematici. Ciò perché gli oggetti e i
problemi della logica si sono rivelati oggetti e problemi matematici, e
dunque vanno trattati con metodi matematici (eventualmente nuovi). In
questo senso, la logica oggi è chiamata logica matematica, senza che
questo aggettivo "matematica" denoti una limitazione del suo ambito.
Infatti, le questioni che la logica indaga sono quelle tradizionali di questa
disciplina, e altre che proprio lo sviluppo della logica in questo secolo ha
fatto emergere.
Ci sono quattro branche della logica, che ben specificano quattro gruppi
di questioni, genuinamente filosofiche, che sono state indagate con
successo dalla logica in questo secolo mediante strumenti matematici:
la teoria degli insiemi (ossia la teoria generale del concetto di insieme,
sia esso finito o infinito, i concetti di numero ordinale e di numero
cardinale), la teoria dei modelli (ossia la teoria generale del concetto di
modello di un insieme di proposizioni, dove modello sta per struttura
nella quale quelle proposizioni sono "vere"), la teoria della dimostrazione
(ossia la teoria generale del concetto di dimostrazione o di derivazione,
dove per derivazione di una proposizione A da certe ipotesi si intende
una procedura che permette di trasmettere la "verità" dalle ipotesi alla
conclusione A, o che permette di trasformare ogni "prova" delle ipotesi
nella "prova" della conclusione A); la teoria della ricorsività (ossia la
teoria generale dei concetti di macchina, di algoritmo, di procedura
effettiva, e del concetto di operazione calcolabile).
Chiunque può vedere in queste quattro branche le tradizionali questioni
della logica. Dappertutto, in ogni branca della nostra conoscenza,
usiamo la nozione di "insieme" o "classe"; dappertutto, in ogni branca
della nostra conoscenza, trattiamo proposizioni e asseriamo che -
relativamente a certi sistemi di enti - una certa proposizione o un certo
insieme di proposizioni (ad esempio, assiomi o principi di una teoria)
sono "veri"; dappertutto, in ogni branca della nostra conoscenza,
"stabiliamo, proviamo proposizioni" e "deriviamo una proposizione a
partire da un insieme di ipotesi", ossia facciamo "prove" (di proposizioni)
e "derivazioni" (di una proposizione da un insieme di ipotesi);
dappertutto, in ogni branca della nostra conoscenza, abbiamo a che fare
con "algoritmi" ossia con "procedure" che permettono di raggiungere
obiettivi in maniera concreta, meccanica e finita, e ci rendiamo conto
che tali procedure possono in linea di principio essere eseguite anche da
una "macchina" e che per certe "operazioni" possediamo "algoritmi" e
quindi le possiamo chiamare "calcolabili".
La logica vuol rispondere alla questione "cos'è una classe (un
insieme)?"; vuol rispondere alle questioni "cos'è una proposizione?" e
"cosa vuol dire che una proposizione è vera relativamente a una certa
struttura?"; vuol rispondere alle questioni "cos'è una prova?" e "cos'è
una derivazione?"; e ambisce a rispondere alle questioni "cos'è un
algoritmo?", "cos'è una macchina?", "ci sono operazioni non
calcolabili, ossia che mai potranno avere algoritmi?". E naturalmente
vuol rispondere a tutte le altre questioni che sorgono non appena si
comincia ad indagare a fondo su queste questioni.
La logica dunque tratta questioni "universali", comuni ad ogni branca
della nostra conoscenza (obiettivo indicato già da Aristotele all'avvio
della logica), e le vuol trattare il più possibile in maniera "universale":
ossia non si prefigge di indagarle separatamente per ciascuna branca
della nostra conoscenza. Non ci può essere una "logica" particolare e
separata per ciascuna scienza - anche perché ci troveremmo davanti la
questione di come queste "diverse logiche" poi interagiscono tra loro,
dato che la nostra attività conoscitiva di fatto si svolge anche e
prevalentemente entro più discipline scientifiche.
L'indagine che la logica ha compiuto non è terminata, anzi richiede
ancora notevoli sforzi. Ma è stata feconda ed è feconda.
La teoria degli insiemi, e la parte in essa più rilevante ossia quella
concernente i numeri ordinali e i numeri cardinali finiti e transfiniti,
costituisce una profonda analisi del concetto di "insieme" in matematica
(e nella parte teorica di ogni scienza), e con i suoi metodi e i suoi
problemi è una branca della ricerca contemporanea di grande attrattiva
per i matematici. Non ambisce a essere anche un'analisi del concetto di
insieme "in qualunque ambito conoscitivo", ma è ovvio che essa è il
primo passo indispensabile da compiere in quella direzione.
Lo stesso può essere detto a proposito della teoria dei modelli: anche
essa è ricca di risultati, di metodi, e di importanti questioni, e può
legittimamente ambire ad essere considerata una approfondita analisi
del concetto di modello relativamente alla scienza matematica, primo e
necessario passo da compiere.
L'indagine e i risultati ottenuti sulle questioni relative ai concetti di
"macchina" e di "calcolabilità" hanno posto la logica alla base teorica
dell'informatica. L'informatica ha fatto venire alla luce importanti nuove
questioni di carattere logico, e la ricerca logica interagisce oggi in
maniera sempre più stretta con lo sviluppo dell'informatica.
Ma si deve osservare che l'atteggiamento della logica verso le sue
applicazioni non è quello di "trovare risposte particolari per problemi
particolari", piuttosto è quello di cogliere le questioni di natura logica che
sono presenti nei problemi anche pratici dell'informatica e di trovare una
risposta generale a tali questioni, una risposta che se è scientificamente
seria trova sicuramente applicazioni. Si tratta di un atteggiamento che è
tipico di ogni disciplina scientifica, e che si è sempre rivelato fecondo.
Nella teoria della dimostrazione, che per molti decenni si era
concentrata sul problema della non-contraddittorietà dell'aritmetica e
dell'analisi matematica, c'è stato un grande sviluppo delle indagini sul
concetto di "prova" e di "derivazione", in particolare a partire dai lavori di
G. Gentzen (uno dei più grandi logici di questo secolo). Tali indagini
hanno portato a rendersi conto come le "derivazioni" sono non solo casi
particolari di "programmi" (che trasformano le "prove" delle ipotesi in una
"prova" della conclusione) ma anche un modello generale di
"programma", dando luogo così a potenti teorie della programmazione in
cui i programmi sono visti come derivazioni logiche e l'esecuzione di un
programma come una trasformazione di derivazioni logiche. Queste
teorie della programmazione possono essere applicate alla
programmazione funzionale e per esteso a quella procedurale. La
programmazione funzionale si basa sulla corrispondenza fra derivazioni e
programmi (nota come Corrispondenza Curry-Howard), e le derivazioni
logiche che corrispondono ai programmi in programmazione funzionale
appartengono a una parte della logica classica che è chiamata logica
intuizionista (introdotta da Heyting negli anni Trenta) e nella quale è
possibile dare un significato a ciascuna derivazione, significato che è
quello del programma a essa corrispondente e che persiste durante
l'esecuzione del programma.
Se si vuol estendere la corrispondenza tra derivazioni e programmi a
tutte le derivazioni della logica classica, dobbiamo raffinare la logica
classica in quella che è una delle scoperte più rilevanti dell'indagine
logica di questi ultimi anni: la logica lineare, introdotta dal francese
Girard. Le derivazioni in logica lineare ammettono un significato, e
corrispondono a programmi, a processi, che possono richiedere
"interazione", "comunicazione" tra più macchine; ossia, le derivazioni in
logica lineare possono richiedere momenti di interazione tra più soggetti,
così come avviene nella dialettica, dei dibattiti, nei giochi e (perché no?)
nel mondo di Internet. Le potenzialità anche applicative della logica
lineare sono indagate oggi, nell'ambito di una specifica rete di ricerca
dell'Unione Europea.
Le "derivazioni" (in un raffinamento ulteriore della logica lineare) sono
anche modello della costruzione delle frasi nei linguaggi naturali, quando
si esprimono le categorie di un linguaggio naturale mediante proposizioni
(ad esempio, la categoria dei verbi intransitivi può essere espressa da
una proposizione che esprime il fatto che "un verbo intransitivo
preceduto da un nome produce un enunciato"). Con ciò, la logica si
pone come base teorica per parte della linguistica, lungo una tradizione
che ha percorso questo secolo da Frege a Bar-Hillel e Lambek.
La logica oggi può attirare l'interesse di chi ama le grandi questioni
universali relative alla nostra conoscenza e crede che la loro indagine
approfondita, con strumenti matematici, possa essere una via per far
interagire meglio le varie discipline e contribuire al loro sviluppo.
I logici sono legati ai formalismi? Li usano, e forse più di altri; ma per
affrontare con successo grandi, antiche e feconde questioni. | 
