Cosa fanno oggi i logici?| Una disciplina sempre più viva, anche senza fondamenti |
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Dal 3 al 6 ottobre si è tenuto a Castiglioncello il congresso internazionale «Operations, Sets and Types», organizzato dal «Centro Fiorentino di Storia e Fìlosofia della Scienza». Fra i partecipanti alcuni dei più autorevoli studiosi di fondamenti della matematica, tra cui bastino i nomi di Solomon Feferman, Per Martin Loef, Gerhard Jaeger, Peter Aczel, Giovanni Sambin, Giuseppe Longo, Ettore Casari, Andrea Cantini.
Ma che cosa significa oggi indagare sui "fondamenti della matematica"? Si sono verificati mutamenti importanti nel clima culturale e nelle prospettive scientifiche? Diciassette anni fa, durante un convegno simile, organizzato a Firenze dallo stesso «Centro Fiorentino», alcuni partecipanti (Feferman, Casari) avevano parlato di una sorta di "malessere", di "disagio", di "crisi di identità" nel mondo delle ricerche fondazionali. In che misura la comunità dei matematici ha imparato a convivere con questo disagio? «Nei primi decenni del Novecento - risponde Marisa Dalla Chiara, studiosa della logica applicata la meccanica quantistica, e presidente del Centro - uno degli scopi fondamentali delle ricerche sui fondamenti era assicurare l'affidabilità della matematica. Per esempio, il celebre programma, proposto da Hilbert, doveva dimostrare che le teorie matematiche di uso corrente hanno un fondamento sicuro, la cui correttezza (o non contraddittorietà) è dimostrabile con metodi semplici e sicuri ("al di sopra di ogni sospetto"). Ma i teoremi dimostrati da Gödel nel 1931, hanno messo in crisi questo progetto: nessuna teoria, che costituisca un "buon fondamento" per la matematica può dimostrare la sua propria correttezza. La matematica nel suo complesso sembra comportarsi, in un certo senso, come
un edificio senza fondamenta».
Il convegno ha confermato che la ricerca di una giustificazione semplice e sicura della correttezza della matematica oggi è stata alquanto sdrammatizzata. E' prevalso un atteggiamento che in molti casi può apparire pragmatico ed eclettico. Feferman, ad esempio, ha parlato a questo proposito di "Working Foundations". «Non si cerca più un'unica teoria in cui inquadrare il complesso di tutte le conoscenze matematiche - continua Dalla Chiara -, perché si sa che questo è impossibile. Tuttavia, le ricerche sui fondamenti non sono morte. E' la parola "fondamenti" che ormai ha acquistato un significato diverso. Occuparsi di ricerche sui fondamenti non significa più, come ai tempi di Frege, di Russell e di Hilbert, tentare di assicurare la certezza della matematica. L'idea è che comunque la matematica funziona e non se ne può fare a meno in tutte le attività scientifiche. Si tratta dì capire localmente dove e come funziona. In questa prospettiva, molte ricerche si occupano spesso delle zone di confine fra teorie matematiche diverse, fra matematica ed altre scienze, fra matematica e filosofia. Sì è capito che può avere senso continuare a occuparsi di fondamenti, anche se si accetta lo slogan secondo cui "nessuna scienza è davvero fondata sui suoi fondamenti!"».
Alcuni problemi di cui si continua ad occupare: Come minimizzare la forza delle teorie necessarie per dimostrare importanti teoremi matematici (che sono essenziali anche nelle applicazioni fisiche)? Come classificare adeguatamente la forza delle diverse teorie? Come ottimizzare la capacità di operare con universi matematici "molto grandi" (per esempio con la collezione di tutte le possibili classi) senza cadere nelle classiche antinomie degli insiemi? Come ottimizzare la possibilità di situazioni logiche dì autoriferimento (in cui un concetto o un termine si riferisce a se stesso) senza cadere in contraddizione?
«Un fenomeno che sta cambiando rapidamente le caratteristiche di alcuni concetti importanti della matematica - sostiene ancora Dalla Chiara - è dovuto all'interazione con l'informatica. Nella matematica contemporanea, molte dimostrazioni dipendono essenzialmente da calcoli eseguiti al computer, che in molti casi non è possibile ricostruire e controllare a mano, nemmeno a posteriori. Talvolta si tratta di molti computer che lavorano in parallelo, e che devono comunicare fra loro. L'attività matematica risulta così fortemente compromessa sia con la fisica sia con il progresso tecnologico (velocità, memoria dei computer, e così via). La caratterizzazione (cara a molti filosofi neopositivisti) secondo cui la matematica sarebbe una scienza analitica e priva di contenuto empirico sembra proprio definitivamente caduta». | 
