La filosofia
dei numeri| Il mondo delle idee abbandona la matematica
la filosofia |
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Narra il Lalitavistara che il Buddha partecipò a una tenzone
per ottenere la mano della bella Gopa, e superò senza fatica
i rivali nelle gare sportive e letterarie. L'ultima prova, di
matematica, richiedeva di nominare grandi numeri.
Mediante un metodo iterativo simile a quello usato da
Archimede per il calcolo dei granelli di sabbia dell'universo,
il Buddha arrivò a nominare il numero degli atomi delle
tremila migliaia di mondi. Ottenuto il suo romantico
obiettivo, esclamò: «Solo chi ha raggiunto il nirvana, come
me, conosce questo numero. Qui finiscono i calcoli, da qui
inizia l'incalcolabile».
Un bel progresso rispetto al Libro dei morti egiziano, che si
limitava a osservare: «Puoi portarmi un uomo che non
sappia contare con le dita?». Che legame c'è però, per i
vivi, tra le dita e i numeri? Mostrare un indice è forse la
stessa cosa che mostrare il numero Uno? A proposito, non
basta forse aggiungere un Uno a quello che Buddha
credeva essere l'ultimo numero, per sconfiggerlo e privarlo
della bella Gopa, e del nirvana?
Domande simili innescano immediatamente una reazione a
catena. Che cosa sono gli enti matematici? Come arriviamo
a conoscerli? Come sono collegati alle cose? A che cosa
servono? Perché sono utili? Porsi queste domande e tentare
di dar loro una risposta significa fare della filosofia della
matematica. O meglio, della filosofia tout court. Perché le
origini della sua storia occidentale stanno proprio in tali
problematiche.
Il primo a riflettere su queste questioni fu Pitagora, che
coniò il famoso motto: Tutto è numero. In questo caso le
risposte alle domande precedenti diventano ovvie, perché i
numeri sono la vera essenza delle cose. Purtroppo per lui,
Pitagora si accorse presto di essere stato precipitoso: la
traumatica scoperta di quelli che oggi si chiamano
"irrazionali" dimostrò che aveva torto. Ad esempio, non è
un numero razionale il rapporto fra la diagonale e il lato del
quadrato.
Poiché i problemi venivano dalla geometria, Platone si
affrettò a riproporre il credo pitagorico in versione
riformata: Tutto è forma. O meglio: le cose sono immagini
imperfette di forme perfette, chiamate "idee" (da eidos,
"figura, forma"). Basterebbe tradurre il termine greco
correttamente, per evitare agli studenti di filosofia un sacco
di problemi: l'irragionevole "teoria delle idee" diventerebbe
infatti una ragionevolissima "teoria delle forme astratte", e il
problematico legame tra idee e cose si ridurrebbe a una
semplicissima proiezione (nel senso ottico).
Una volta spiegata la natura degli enti matematici e la loro
relazione con gli oggetti del mondo, rimaneva da affrontare
la natura del metodo matematico. Ci pensò Aristotele nella
Metafisica e nell'Organon, sistematizzando la logica come
scienza del ragionamento, e dichiarando esplicitamente che
le sue leggi erano formulate sul modello delle dimostrazioni
matematiche.
Gli strumenti quantitativi dell'aritmetica, qualitativi della
geometria e deduttivi della logica divennero i ferri del
mestiere dei filosofi. I quali, spesso e volentieri, sono stati
matematici di valore: da Cartesio e Leibniz nel Seicento, a
Putnam e Kripke nel Novecento. Quanto alla filosofia, una
buona parte di essa è consistita di riflessioni sul ruolo della
matematica: bastino come esempi, fra tutti, gli a priori
kantiani del tempo aritmetico, dello spazio geometrico e
della causalità logica.
Solo nell'Ottocento una buona parte di filosofi ha cessato di
studiare e conoscere a fondo la matematica: mantenendone
almeno una conoscenza superficiale con Schopenhauer e
Nietzsche, e perdendola del tutto con i loro epigoni.
La riflessione sulla matematica, da tronco della filosofia, ne
è così divenuta soltanto un ramo. Come se non bastasse,
essa è stata dominata da una tradizione inaugurata da
Frege, Russell e Wittgenstein, tutta tesa a definire le nozioni
che i matematici lasciano indefinite, e disinteressata invece
all'analisi dei teoremi e delle dimostrazioni che costituiscono
l'essenza del loro lavoro.
Oggi i filosofi che parlano di matematica sono, troppo
spesso, come i preti che parlano di sessualità: o l'hanno
vissuta clandestinamente e interiorizzata colpevolmente, o
l'hanno sentita raccontare dai peccatori in confessionale. In
entrambi i casi, non ne conoscono gli aspetti sani e
quotidiani. Ciò nonostante, continuano a disputare
imperterriti su ciò che essi credono che sia, incuranti e ignari
di ciò che veramente è.
E se ne gloriano pure, dichiarando come Mario Piazza nel
suo recente Intorno ai numeri (Bruno Mondadori, 2000):
«Un filosofo che indaga sulla dimensione ontologica dei
numeri non è minacciato da smentite che siano esterne allo
spazio concettuale in cui opera». Il che significa appunto,
tradotto, che ciò che i matematici pensano non interessa i
filosofi che ne parlano. Magari, però, può interessare i
lettori. Soprattutto quando le riflessioni sono scritte in
italiano, invece che in inglese o tedesco, e arrivano
dall'interno della matematica, invece che dall'esterno.
Le ultime di queste riflessioni, in ordine di tempo, sono le
conversazioni fra il poliedrico Edoardo Boncinelli (fisico di
formazione, psicanalista di elezione e biologo di
professione), e lo storico della matematica Umberto
Bottazzini. I loro dialoghi, contenuti ne La serva padrona
(Cortina, 2000), affrontano il problema di ciò che Eugene
Wigner, premio Nobel per la fisica nel 1964, descrisse con
un'espressione fortunata: «L'irragionevole efficacia della
matematica nelle scienze naturali».
La soluzione proposta è che l'aritmetica, la geometria e la
logica siano sviluppi culturali e mentali di rudimenti biologici
e cerebrali: lo dimostrerebbe, ad esempio, la capacità del
bambino appena nato di saper distinguere fra uno, due o tre
oggetti. Poiché poi, come ha notato l'etologo Konrad
Lorenz, premio Nobel per la medicina nel 1973, gli a priori
dell'individuo sono a posteriori per la specie, proprio nella
loro efficacia risiederebbe il motivo della loro selezione
evolutiva. In parole povere, la matematica funziona perché
sviluppa e raffina meccanismi che l'evoluzione biologica ha
selezionato perché funzionavano.
Di come, a sua volta, l'evoluzione culturale agisca in tempi
storici, selezionando le nozioni più adatte alla
sopravvivenza, tratta invece l'analista matematico Enrico
Giusti in Ipotesi sulla natura degli oggetti matematici
(Boringhieri, 1999). Attraverso una serie di quadri
espositivi, Giusti espone il concepimento e lo sviluppo di
vari concetti che hanno superato il test di sopravvivenza:
dalle curve alle formule risolutive per le equazioni, dalle
geometrie non euclidee ai gruppi. Senza trascurare, però,
esempi di nozioni che hanno invece fallito quel test,
abortendo senza giungere a maturità: dagli indivisibili agli
infinitesimi. Proprio in questi successi e fallimenti si
manifesta il calore dinamico della matematica, troppo
spesso immaginata fredda e statica da chi non la conosce.
La più ambiziosa e riuscita delle recenti opere italiane sui
fondamenti della matematica è certamente Gnomon,
dell'analista numerico Paolo Zellini (Adelphi, 1999). Una
gigantesca sinfonia che presenta una ricostruzione razionale
degli sviluppi della nozione di numero, dal logos degli dèi al
Golem dei calcolatori, sostenuta da un basso continuo: lo
gnomone che dà titolo al libro, e al quale Zellini riesce a
ricondurre una varietà enorme di procedure e risultati
matematici. L'accrescimento gnomonico si rivela essere un
punto di vista unificante per una serie di tecniche a prima
vista molteplici, dalla costruzione degli altari indiani al
metodo di approssimazione di Newton, e produce una vera
e propria esperienza epifanica.
Solo chi ha raggiunto il nirvana, studiando la matematica,
può immergersi a tali profondità. Gli altri dovranno
accontentarsi di sguazzare in superficie. | 
