RASSEGNA STAMPA
26 LUGLIO 2002
RASSEGNA STAMPA | 26 LUGLIO 2002 |
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La
prima idea probabilmente è venuta all'uomo guardando il cielo, lo spazio e le
stelle
Da Bernard Bolzano a Zenone, in matematica si creano tanti paradossi. Ma Hegel e i suoi seguaci parlano di «cattiva infinità
E'
molto probabile che la prima idea dell'infinito sia venuta all'uomo guardando
il cielo, lo spazio infinitamente grande, il numero delle stelle, anch'esso
infinitamente grande.
«Il
credere l'universo infinito è un'illusione ottica: almeno tale è il mio
parere. Come si è trovato per
esperienza che il globo terracqueo il quale pare infinito, ha pure i suoi
limiti,
così,
secondo analogia, si deve credere che la mole intera dell'universo, il quale ci
pare infinito per la stessa causa... I primitivi credevano ancora e credono che
le stelle che noi veggiamo non si potessero contare, cioè fossero infinite di
numero... Niente infatti nella natura annunzia l'infinito, l'esistenza di
alcuna cosa infinita. L'infinito è un
parto della nostra immaginazione». Così
scriveva Giacomo Leopardi nello Zibaldone
tra il 1826 e il 1827. Tra i
«primitivi» potremmo inserire anche Amleto che (Atto Primo, scena quinta)
grida: «Vi sono molte più cose in cielo e in terra di quante non ne sognino i
filosofi». Nel corso dei secoli tante
sono state le idee sull'infinito; bisogna certo mettere un punto di partenza.
«In verità capita che l'infinito sia proprio il contrario di quel che si dice. Difatti, l'infinito non è ciò al di fuori di
cui non c'è nulla, ma ciò al di fuori di cui c'è sempre qualcosa». Parole di Aristotele (Fisica, III, 207a). Dopo
il grande successo dello spettacolo di Luca Ronconi (su testi di John Barrow) Infinities, l'infinito, anzi gli
infiniti sono di gran moda. Riprendiamo
Aristotele e partiamo dai numeri: «E' conforme a ragione che nella serie
numerica il più piccolo sia il termine, ma che procedendo verso un numero
maggiore, ogni quantità venga superata... procedendo verso il più grande, non c'è grandezza infinita. E la ragione è che l'unità numerica è
indivisibile mentre il numero è una pluralità di unità...Sicché il numero è
infinito in potenza, ma non in atto».
Grande
questione quella dell'infinito in potenza ed in atto. Di cui molto si sono occupati i filosofi; meno i matematici che
hanno a che fare con cose molto più concrete.
Vorrei però non entrare troppo nelle questioni; seguire il metodo di
Ronconi nello spettacolo. Nessuna
spiegazione, nessun intento divulgativo.
Pura mistica del linguaggio e suggestioni. Ecco allora che più che spiegare vorrei far sentire il
fascino
dell'infinito. Ancora Amleto (Scena
Seconda: atto secondo): «Oh Dio, potrei essere
rinchiuso
in un guscio di noce e sentirmi re dello spazio infinito». Che in fondo si può tranquillamente
accostare a « ... e il naufragar m'è dolce in questo mare» (L'Infinito di G. Leopardi, 1825).
La frase di Amleto era una di quelle favorite dall'artista grafico
Maurits Cornelis Escher. Nel suo primo
libro alcune delle opere sono classificate sotto il termine Infinito. Molte
delle sue incisioni cercano l'infinito in un guscio di noce, con proprietà di
autosimilitudine che anticipano di molti anni alcune delle migliori immagini
frattali (M.C. Escher Exploring the
Infinite, H. N. Abrams, Publ., NY1989).
L'infinito in uno spazio di noce, già perché l'idea di infinito e di
limitato non sono la stessa cosa.
Un
insieme può essere limitato ed avere infiniti elementi. Esempio: i numeri reali tra 0 e 1
sono
talmente tanti che non si possono nemmeno contare. Sono tanti quanti su tutta la retta. Già, ma che vuole dire contare un insieme che ha infinti
elementi? E' quello che accade nella prima stanza dello spettacolo di Ronconi,
quella dell'albergo infinito con infinite stanze per gli infiniti ospiti. Si era già accorto Galileo delle stranezze
che possono accadere pensando agli infinti con la nostra mente finita (e l'idea
di Ronconi dello spettacolo era quella che nessuno spettatore potesse vedere
tutto lo spettacolo potenzialmente infinito). E' molto chiaro che anche solo
parlando dell'infinito in matematica si creano immediatamente tanti paradossi
(era questo, almeno apparentemente, l'argomento dello spettacolo di Ronconi,
mentre il tema vero era il linguaggio).
Chi per primo si occupò seriamente dei paradossi dell'infinito? Curioso che a lui non vi sia alcun cenno
nello spettacolo del Piccolo Teatro. «Le affermazioni paradossali che si
incontrario in matematica sono certamente per la maggior parte, benché non
tutte, proposizioni che o contengono in modo immediato il concetto di infinito,
o si fondano in qualche modo su tale concetto attraverso la dimostrazione per
esse proposta. Ancor meno discutibile è
il fatto che tale categoria di paradossi matematici includa precisamente quelli
che meritano il nostro esame più accurato, in quanto la soluzione di problemi
molto importanti di altre scienze, come la fisica e la metafisica, dipende da
una soddisfacente confutazione delle loro apparenti contraddizioni». Bernard Bolzano (1781-1848), sacerdote
cattolico nato a Praga da famiglia di origine italiana completò i Paradoxien des Unendlichen nel 1847/48
(ed. Ital. I paradossi dell'infinito a
cura di F.Voltaggio, Feltrinelli, 1965).
Prosegue Bolzano: «Che l'infinito sia contrapposto ad ogni mero finito è
già espresso nel termine stesso. I matematici hanno fatto uso del termine
infinito in altro senso che questo: se trovano una quantità maggiore di
qualsiasi numero di unità assunte, la chiamano infinitamente grande; se trovano
una quantità così piccola che ogni suo multiplo è minore dell'unità, la
chiamano infinitamente piccola; né riconoscono alcuna altra specie di infinito
oltre queste due e oltre specie da esse derivate, infinitamente più grandi o
infinitamente più piccole, che discendono tutte dallo stesso concetto. Alcuni filosofi però, per esempio Hegel e
i suoi seguaci, non sono soddisfatti di questo infinito dei matematici e lo
chiamano con disprezzo cattiva infinità, rivendicando la conoscenza di un
infinito molto superiore, il vero infinito, l'infinito qualitativo, che essi
trovano solo in Dio, e in generale nell'Assoluto».
Arriviamo
finalmente ai famosi paradossi di Zenone, esempio principe di cattivo
infinito. Di Zenone (attivo verso il
450 a.C.) ci sono pervenuti alcuni frammenti (tutte le citazione sono tratte da
I presocratici: frammenti e testimonianze
a cura di A. Pasquinelli, Einuadi, 1976): «Se gli esseri sono molti è
necessario che essi siano tanti quanti sono e né di più né di meno. Ma se sono tanti quanti sono, saranno
limitati. Se sono molti, gli esseri
sono infiniti. Infatti tra l'uno e l'altro di questi esseri ve ne saranno
sempre altri e tra l'uno e l'altro di questi altri ancora. E cosi gli esseri sono infiniti». Veniamo al famoso paradosso di Achille e la
tartaruga, uno dei quattro argomenti di Zenone contro il moto. E' Aristotele nella sua Fisica a descriverlo: «Il secondo è l'argomento detto
d'Achille. Esso dice che il più lento
non sarà mai raggiunto nella corsa dal più veloce. Infatti è necessario che chi insegue giunga prima al punto da cui
è partito chi fugge, cosicché il più lento si troverà necessariamente un po'
più avanti del più veloce. La
conseguenza di quest'argomento è che il più lento non vien raggiunto». La difficoltà si basa sulla divisibilità
infinita dello spazio. Ma allora
Achille raggiunge o no la tartaruga?
Come si sarà capito vi sono due aspetti nel problema, uno filosofico
«buono» ed uno matematico «cattivo», per dirla con Hegel. Si può dimostrare in modo semplicissimo il
problema matematico con un risultato che dipende dalla velocità dei due
corridori come è ovvio, credo, secondo la logica di chiunque. Il che non vuol dire che non resti il
problema della divisibilità del tempo e dello spazio dal punto di vista
filosofico. Nel suo ampio saggio Breve storia dell'infinito (Adelphi,
1980) il matematico Paolo Zellini considera l'argomento della dicotomia
portato da Zenone per negare il moto. «In tale argomento si sostiene che chi
desideri percorrere una unità di lunghezza non potrà mai portare a compimento
la sua impresa perché dovrà percorrere la successione infinita di intervalli in
cui l'unità è divisibile per dicotomia. «Per arrivare da 0 a 1 si raggiunge
1/2, poi 1/2+1/4=3/4, poi 7/8 e così via, percorrendo successivamente
intervalli di ampiezza 1/2,1/4,1/8,1/16, ... 1/2 elevato ad n ... che appare
manifestamente impossibile perché gli intervalli sono in numero infinito.
Con la nozione matematica di convergenza di una serie, in modo analogo al caso di Achille e la Tartaruga, si supera la difficoltà dimostrando che al crescere di n (quando n tende all'infinito) la somma parziale 1/2+ 1/4........... tende a 1. Se dal punto di vista matematico è chiaro che Achille raggiunge la tartaruga, e si può calcolare il tempo che ci impiega, aggiunge giustamente Zellini che «la dimostrazione di Zenone sembra tuttavia invulnerabile, nella sua intenzione ancor più che nel suo specifico svolgimento dialettico, da ogni confutazione che faccia uso della nozione matematica di limite... Come immagine speculare negativa dell'esemplare celato al di là di ogni rappresentazione l'apeiron (infinito) poteva essere allora un paradossale richiamo simbolico a Dio... L'idea potrebbe estendersi oltre, al male e al non-essere, fino a farne la prova che un mondo privo di Dio ne indica da lontano la prova». Concludo l'articolo (non, ovviamente l'argomento) con una frase attribuita a Bolzano che di infinito se ne intendeva, essendo matematico, filosofo e sacerdote: «Non è 2 x 2 = 4 perché è pensato da Dio, ma Dio pensa che 2 x 2 = 4 proprio in quanto 2 x 2 = 4».