RASSEGNA STAMPA

13 GENNAIO 2002

L'invenzione della logica moderna - in passato nota come logica simbolica, e oggi comunemente definita logica matematica - è uno dei grandi risultati della nostra epoca. Padre e fondatore della logica moderna è il matematico e filosofo tedesco Gottlob Frege (1848-1925). In un piccolo libro, Begriffsschift (Ideografia) , pubblicato nel 1879, egli presentò per la prima volta una lingua simbolica, retta da regole di deduzione esatte, e capace di formulare ogni argomento deduttivo usato in una prova matematica. Un risultato eccezionale. La logica era esistita, come sistema scientifico, per ventitré secoli, sin dalla sua fondazione con Aristotele; ma in ventitré secoli nessuno era riuscito ad analizzare i passi evidentemente validi del normale ragionamento matematico elementare. Gottlob Frege aveva scoperto il mezzo per farlo. Frege non ebbe una vita felice. La sua carriera trascorse come insegnante nel dipartimento di matematica dell'Università di Jena. Oggi Frege è celebre, non solo come fondatore della logica matematica moderna, ma anche come il padre della scuola analitica di filosofia, e come il primo filosofo matematico moderno. In vita, tuttavia, le sue opere furono spesso fraintese e più tristemente ignorate. Questo lo amareggiò profondamente, poiché da subito Frege ebbe la consapevolezza di aver raggiunto risultati di straordinaria importanza.

Ancor giovane, ad un certo punto della sua carriera, Frege si impose di raggiungere un singolo, complesso, obiettivo: dimostrare con argomenti inattaccabili due teorie matematiche fondamentali, teorie che, insieme, egli chiamava "aritmetiche": la teoria dei numeri naturali 0, 1, 2, ..., e la teoria dei numeri reali (dei numeri razionali come " e dei numeri irrazionali come "pi greco", cioè 3,14..., e la radice quadrata di 2). Il suo pensiero fondamentale era che l'aritmetica, in ambedue i suoi rami, non fosse altro che un ampliamento, uno sviluppo della logica: i suoi concetti base potevano definirsi in termini puramente logici, e i suoi metodi di ragionamento erano strettamente quelli della logica deduttiva. Diversa, invece, era la sua concezione della geometria: secondo Frege essa dipendeva da principi a priori di intuizione spaziale. Frege credeva di aver realizzato il suo sogno, cioè dimostrare la validità e solidità della sua teoria dell'aritmetica; nel 1893 e 1903 pubblicò i primi due volumi con l'esposizione della teoria, laboriosamente sviluppata nel suo sistema logico simbolico. Ma, purtroppo, mentre il secondo volume era in corso di stampa, Frege ricevette una lettera dal suo giovane ammiratore Bertrand Russell (1872-1970) che annunciava la deduzione di una contraddizione nel suo sistema logico. Frege impiegò tre anni per convincersi dell'impossibilità di correggere il sistema: non restava altro che accettare il fallimento, il fallimento del sogno di una vita.

La "contraddizione" evidenziata da Russell riguardava unicamente la parte del sistema di Frege che si riferiva al concetto di una classe o insieme di oggetti: Frege rimaneva convinto che, senza questo concetto, il suo sistema logico fosse corretto. Per alcuni decenni la "contraddizione" impegnò l'attenzione dei matematici. Russell stesso continuava a concepire il concetto di una classe come un concetto logico, così come Frege l'aveva concepito, e nel monumentale Principia Mathematica (1910-1913), scritto in collaborazione con A. N. Whitehead, Russell tentò di fare per l'intera matematica ciò che Frege aveva tentato per l'aritmetica. Egli superava la contraddizione per mezzo della sua "teoria dei tipi", che distingueva individui, classi di individui, classi di classi di individui, e così via. Non solo: una classe non poteva avere membri di tipi diversi. La maggior parte dei matematici preferiva concepire la "teoria di insiemi o classi" come una teoria matematica non appartenente alla logica, bensì una teoria di grande potenza, con assiomi capaci di prevenire la contraddizione.

Malgrado l'insuccesso del suo tentativo, Frege credeva che il suo sistema logico, senza la teoria delle classi, fosse un contributo fondamentale; e aveva ragione. Egli non lo concepiva solo come un mezzo per svelare la struttura dei nostri pensieri, cioè delle proposizioni che esprimiamo in frasi, ciò in cui crediamo, consideriamo o dubitiamo. La struttura di un pensiero, egli disse, è riflessa nella struttura di un enunciato che lo esprime. Superficialmente un enunciato è una sequenza lineare di parole. Ma quando cerchiamo di spiegare come le parole si combinano per formare un enunciato ed esprimere un pensiero, ci rendiamo immediatamente conto che occorre un modello più complesso di rappresentazione. La struttura del pensiero risulta da un'analisi del modo in cui l'enunciato è determinato secondo la sua composizione. Frege era convinto che le sue formule simboliche rappresentassero fedelmente la struttura dei nostri enunciati e dunque dei nostri pensieri.

Gottlob Frege aveva in gran parte ragione; e da questo dipende gran parte dell'importanza della sua invenzione della logica matematica. Il suo simbolismo non è sufficiente per l'espressione di ogni forma di enunciato usato in una lingua naturale come l'italiano; ma rimane il prototipo di una formulazione rigorosa. Quando nella semantica moderna bisogna rappresentare la struttura di enunciati della lingua naturale che non ammettono una formulazione logica ovvia, gli studiosi fanno una delle due cose: o inventano un mezzo non ovvio per formularla; o aumentano il simbolismo per l'addizione di nuovi operatori retti da nuove regole semantiche. La semantica moderna è progredita poco oltre l'analisi della struttura dei nostri pensieri che stava sotto la teoria logica dell'inventore della logica moderna.

È per questo motivo che la logica moderna ha influenzato la linguistica così profondamente. La concezione della struttura dei pensieri resa ben nota dalla logica matematica è divenuta di basilare importanza per molte discipline, come la scienza cognitiva. Questa è la ragione fondamentale perché l'invenzione della logica matematica è nel numero delle scoperte intellettuali più rilevanti dell'era moderna.

Prima dell'invenzione dei computer, il concetto di una funzione efficacemente computabile era stato analizzato indipendentemente da logici, in particolare da Alan Turing (1912-1954) e Alonzo Church (1903-1995). Quest'analisi ha reso la logica matematica intrinseca alla scienza dei computer.

La logica matematica è anche di grande importanza per i filosofi. Per loro, una gran parte dell'interesse per la logica dipende dai sistemi della logica alternativi al sistema classico proposto da Frege, Russell ed altri. Il più interessante dei sistemi alternativi è quello della matematica intuizionistica. Questa scuola di matematica costruttiva venne fondata dal grande ma eccentrico olandese L. E. J. Brouwer (1881-1966).

Nella logica classica ogni proposizione deve stabilire il vero o il falso, indipendentemente dalla nostra conoscenza e mezzo di conoscenza; questo è il celebre - ma problematico - principio di bivalenza. Secondo la scuola intuizionistica, una proposizione matematica può essere stimata vera solo se possediamo un mezzo per dimostrarla, e falsa solo se possediamo un mezzo per provare che essa non sarà mai dimostrata. Non possiamo dunque assumere che ogni proposizione sia vera o falsa. Di conseguenza, molti modi di argomentare che sono validi secondo la logica classica falliscono nella logica intuizionistica. La formulazione esatta della logica intuizionistica ci rende capaci di discutere con chiarezza le conseguenze del rifiuto del principio di bivalenza.

Il logico polacco Alfred Tarski (1902-1983) emigrò negli Stati Uniti, come molti altri, e insegnò all'Università di Berkeley, in California. Egli diede molti contributi importanti alla logica; d'interesse primario per i filosofi fu la sua definizione di verità per gli enunciati di un linguaggio formale.

Giuseppe Peano (1858-1932) era il capo di una scuola italiana di logici; egli progettava di assiomatizzare tutte le teorie matematiche. Russell e Whitehead scelsero il simbolismo di Peano per il loro Principia Mathematica . Ma il maestro dei sistemi assiomatici fu in realtà David Hilbert (1862-1943), matematico di grande levatura che eccelleva in molti rami della disciplina. Hilbert deve la sua fama ai lavori sulla assiomatizzazione della geometria realizzati nel 1899. Egli stesso fu a capo di una scuola di logici con i quali iniziò il cosiddetto "programma di Hilbert". Questo programma si proponeva di dimostrare con metodi assolutamente elementari l'assenza di contraddizioni in un sistema formale dell'aritmetica. Hilbert credeva che una tale dimostrazione avrebbe giustificato i metodi di deduzione più avanzati usati nel sistema.

Questo programma, tuttavia, è stato dimostrato irrealizzabile da parte del più grande logico del XX secolo, Kurt Goedel (1906-1978). Gödel, austriaco, trascorse l'ultima parte della sua vita all'Institute of Advanced Study di Princeton, negli Stati Uniti. Fu grande amico di Albert Einstein, socio anch'egli dell'Institute. Kurt Gödel ha elaborato un gran numero di teoremi logici importantissimi. Il più celebre è stato la dimostrazione dell'incompletezza dell'aritmetica.

Ma andiamo oltre. Alcuni pensatori, per esempio Sir Roger Penrose (nato nel 1931), hanno tratto una conclusione di più larga portata, cioè che la mente umana non funziona nella maniera di un computer, perché, dato un sistema formale per l'aritmetica, di cui crediamo vero ogni teorema, possiamo riconoscere che la formula irrisolvibile deve essere vera. La formula irrisolvibile dice che ogni numero naturale possiede una certa proprietà complessa; e, per ogni numero naturale 0, 1, 2, ..., la formula che dice che quel numero possiede quella proprietà può essere derivata nel sistema: dunque, la formula irrisolvibile è vera. Ma ogni programma per un computer può essere rappresentato per un sistema formale. Perciò, possiamo riconoscere come vera una proposizione la cui verità non potremmo riconoscere se il funzionamento delle nostre menti sia in conformità al programma. Il ragionamento è discutibile ma esemplifica il modo in cui teoremi della logica matematica possono avere grandi conseguenze di pertinenza generale. Perché la logica matematica si avvicina a una spiegazione corretta della struttura dei nostri pensieri, possiede un gran valore per tutte le ricerche per cui una comprensione di quella struttura è di importanza fondamentale.

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