RASSEGNA STAMPA

29 APRILE 2001

Quale sarà la matematica per il millennio ora iniziato? La domanda riecheggia quella che si faceva all'inizio del secolo scorso il grande matematico di Gottinga, David Hilbert. Non è certo un velleitario esercizio di profezie, quello che ci propone questo libro curato dall'Accademia dei Lincei, che raccoglie alcuni degli interventi presentati a un convegno internazionale tenuto a Roma nel 1999, promosso dal Centro Linceo Interdisciplinare "Beniamino Segre". A Parigi Hilbert chiamava i matematici a raccogliere la sfida della soluzione di difficili problemi. L'intento del Convegno di Roma era quello di delineare il quadro di alcune tendenze attuali della ricerca matematica, cercando di trarne indicazioni sui possibili sviluppi. Tra i prestigiosi autori dei contributi raccolti in questo libro spiccano i nomi di alcune medaglie Fields come Enrico Bombieri, Alain Connes e David Mumford.

Nei loro interventi la più antica delle scienze appare più vitale che mai, ricca di congetture irrisolte e di problemi aperti. Problemi che si presentano nello studio della natura e sono posti dalle innumerevoli applicazioni della matematica, oltre che dai suoi sviluppi interni, come la teoria delle equazioni diofantee, un capitolo della teoria dei numeri che ha origine nell'antichità, nelle ricerche di Diofanto se non addirittura nell'equazione delle terne pitagoriche conosciuta dai babilonesi. Nella sua conferenza Bombieri ne delinea i recenti progressi e conclude con alcune riflessioni di carattere speculativo sui possibili sviluppi futuri. Come il teorema di Pitagora, anche la proprietà commutativa impariamo a conoscerla a scuola, quando ci insegnano che cambiando l'ordine degli addendi la somma non cambia. Lo stessa proprietà vale per l'algebra delle coordinate che descrive la geometria dello spazio euclideo. E tuttavia ci sono numerosi esempi di spazi, la cui algebra delle coordinate non è commutativa. Un primo esempio, che sta all'origine della "geometria non commutativa" di Connes, è lo spazio delle fasi della meccanica quantistica. Questa "tensione del pensiero geometrico" imposta dalla non commutatività ci costringe a "ripensare gran parte delle nozioni a noi familiari", afferma Connes, che nella sua ampia lezione descrive "le sorprese di un mondo non commutativo".

Da sempre la matematica fornisce il linguaggio e il contesto concettuale per molte aree della scienza, dalla fisica all'ingegneria. Oggi, questa lunga tradizione di interazioni con altre discipline sta conoscendo una nuova stagione con la crescente importanza acquisita dai sistemi complessi, dalla computazione e dalla ricerca scientifica interdisciplinare.

Un esempio di grande attualità è dato in questo libro da Yves Meyer, che discute un algoritmo basato sulla teoria matematica delle cosiddette wavelets, le ondine, di interesse fondamentale nella tecnologia della compressione delle immagini. Di fronte a questi sviluppi, certi matematici si trovano a disagio, educati come sono ad attribuire la massima importanza alla matematica "pura", osserva Phillip Griffiths, collega di Bombieri all'Institute for Advanced Study di Princeton. "La nostra cultura ci ha insegnato ad apprezzare l'eccitazione intellettuale della matematica, l'eleganza e la semplicità delle sue strutture, la libertà di seguire gli sviluppi di problemi interessanti, dovunque essi possano portare". In una parola, a "coltivare la matematica per la matematica" come teorizzava Hardy ne L'apologia di un matematico. E tuttavia, uno sguardo alla storia è sufficiente per rendersi conto di quante fondamentali scoperte matematiche siano state motivate da questioni pratiche. Basta pensare per esempio all'opera di Newton, di Gauss, di Riemann e di Poincaré per rendersi conto di come la matematica sia parte integrante dello studio del mondo fisico. Se è vero che il secolo che si è appena concluso ha visto l'affermazione della matematica come scienza pura e a se stante, osserva Griffiths, è anche vero che negli ultimi decenni si sono fatte più strette e profonde le interazioni tra la matematica e le altre scienze. E che nell'affrontare le questioni scientifiche, alle tradizionali attività di teoria ed esperimento se ne è aggiunta oggi una terza essenziale, quella computazionale. L'esplosione della potenza di computer consente infatti di simulare con modelli sistemi che sono troppo complessi da trattare in maniera diretta, e di rispondere così a domande che erano fuori della nostra portata solo qualche decennio fa. Ma l'esigenza di modelli più complessi ha condotto alla fine a "problemi che non sono solo più grandi o più complicati, ma fondamentalmente diversi", a problemi che richiedono l'elaborazione di nuovi strumenti matematici.

"Lo studio di sistemi complessi è molto più sottile della semplice estrapolazione da leggi fondamentali servendosi di un sistema enorme di equazioni" afferma Griffiths. Di fronte agli sviluppi della matematica contemporanea David Mumford, presidente dell'Unione matematica internazionale, premiato con la Medaglia Fields per i suoi lavori di geometria algebrica, piuttosto inaspettatamente richiama l'attenzione su un "punto fondamentale". Dopo che per oltre duemila anni "la logica di Aristotele ha governato il pensiero degli intellettuali occidentali" oggi, sostiene Mumford, i modelli stocastici e il ragionamento probabilistico si rivelano essere più rilevanti dei modelli esatti e del ragionamento logico per la comprensione del mondo, della scienza e di molte parti della stessa matematica. Nata nei giochi d'azzardo o nelle tabelle di mortalità della Londra settecentesca, la teoria della probabilità e dell'inferenza statistica si afferma oggi come un fondamento migliore dei modelli della scienza, specialmente quelli che riguardano i processi del pensiero, oltre che "un ingrediente essenziale della matematica teorica, e degli stessi fondamenti della matematica". Se, come dice Mumford, il pensiero è l'atto di valutare la distribuzione di probabilità di eventi sconosciuti, data la somma totale della nostra conoscenza di eventi passati e del contesto presente, allora l'"oggetto mentale paradigmatico" non è una proposizione, inossidabile nella sua "eterna gloria" con il suo valore di verità, ma una variabile casuale, il cui valore è soggetto a probabilità non ancora fissate. É questo il radicale cambiamento di prospettiva che, suggerisce Mumford, finirà per influenzare tutta la matematica di questo nuovo secolo.

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vedi anche Il pensiero matematico